黄金分割是根据黄金比例，将一条线分割成两段。总长度a+b与长度较长的a之比等于a与长度较短的b之比
两个数值
a
{\displaystyle a}
和
b
{\displaystyle b}
构成黄金比例
φ
{\displaystyle \varphi }
，如果：
a
+
b
a
=
a
b
=
φ
{\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi }
一个得出
φ
{\displaystyle \varphi }
数值的方法是从左边的分数式入手。经过简化和代入，
a
+
b
a
=
a
a
+
b
a
=
1
+
b
a
=
1
+
1
φ
{\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{a}}+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {1}{\varphi }}}
于是：
1
+
1
φ
=
φ
{\displaystyle 1+{\frac {1}{\varphi }}=\varphi }
两边乘以
φ
{\displaystyle \varphi }
就得到：
φ
+
1
=
φ
2
{\displaystyle \varphi +1=\varphi ^{2}}
即是
φ
2
−
φ
−
1
=
0
{\displaystyle {\varphi }^{2}-\varphi -1=0}
找出该方程的正解，
φ
=
1
+
5
2
=
1.6180339887
…
{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.6180339887\ldots }
黄金比奇妙之处在于其倒数为自身减1，即0.618…＝1.618…－1，并时常称为“黄金比例共轭”[6]。
从上面的
1
+
1
φ
=
φ
{\displaystyle 1+{\frac {1}{\varphi }}=\varphi }
得到：
1
φ
=
φ
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1}
0.618…的数值常用希腊字母
Φ
{\displaystyle \Phi }
表示，即：
Φ
=
1
φ
=
1
1.6180339887
…
{\displaystyle \Phi ={1 \over \varphi }={1 \over 1.6180339887\ldots }}
＝0.6180339887…，亦可表达为：
Φ
{\displaystyle \Phi }
＝
φ
{\displaystyle \varphi }
－1＝1.6180339887…－1＝0.6180339887…替代或其他形式
借由有限连分数或者斐波纳契数列的比例中看出近似于黄金比例的倒数。
公式
φ
=
1
+
1
φ
{\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}}
可以递归扩展来获得黄金比的连分数[7]：
φ
=
[
1
;
1
,
1
,
1
,
…
]
=
1
+
1
1
+
1
1
+
1
1
+
⋱
{\displaystyle \varphi =[1;1,1,1,\dots ]=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}
而它的倒数是：
φ
−
1
=
[
0
;
1
,
1
,
1
,
…
]
=
0
+
1
1
+
1
1
+
1
1
+
⋱
{\displaystyle \varphi ^{-1}=[0;1,1,1,\dots ]=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}
平方根表示：
φ
=
1
+
1
+
1
+
1
+
.
.
.
{\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+...}}}}}}}}}
以三角函数的特殊值表示[8]：
φ
=
13
8
+
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
!
(
n
+
2
)
!
n
!
4
(
2
n
+
3
)
.
{\displaystyle \varphi ={\frac {13}{8}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{(n+1)}(2n+1)!}{(n+2)!n!4^{(2n+3)}}}.}
即是：
φ
=
1
+
2
sin
(
π
10
)
=
1
+
2
sin
18
∘
{\displaystyle \varphi =1+2\sin({\frac {\pi }{10}})=1+2\sin 18^{\circ }}
φ
=
1
2
csc
(
π
10
)
=
1
2
csc
18
∘
{\displaystyle \varphi ={1 \over 2}\csc({\frac {\pi }{10}})={1 \over 2}\csc 18^{\circ }}
φ
=
2
cos
(
π
5
)
=
2
cos
36
∘
{\displaystyle \varphi =2\cos({\frac {\pi }{5}})=2\cos 36^{\circ }}
φ
=
2
sin
(
3
π
10
)
=
2
sin
54
∘
.
{\displaystyle \varphi =2\sin({\frac {3\pi }{10}})=2\sin 54^{\circ }.}
黄金比的乘幂与费氏数列的关系
φ
n
=
F
n
−
1
+
φ
F
n
{\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n-1}+\varphi F_{n}}
且
(
1
−
φ
)
n
=
F
n
+
1
−
φ
F
n
{\displaystyle (1-\varphi )^{n}=F_{n+1}-\varphi F_{n}}
，其中n为任何整数，
F
n
{\displaystyle F_{n}}
是费氏数列的第n项[注 1]